次の問題をMS-Excelシート上で計算しなさい。01_problems.xls（別途配布）上で求めよ。 \( \displaystyle{y=\sin\Bigl(\frac{\pi}{2}x\Bigr) } \)とするとき、\(x=0.5\)の位置の一階微係数および二階微係数を、次の差分式に当てはめ計算しなさい。また解析的微分と比較しなさい。
ただし、\( \Delta x=0.1,0.05,0.025,0.0125 \)のそれぞれについて求めよ。 \[ \begin{align*} \frac{dy}{dx} & = \frac{y_{j+1}-y_j}{\Delta x}, \quad & \rm{(Forward)} \tag{A.1} \\ \frac{dy}{dx} & = \frac{y_j-y_{j-1}}{\Delta x}, \quad & \rm{(Backward)} \tag{A.2} \\ \frac{dy}{dx} & = \frac{y_{j+1}-y_{j-1}}{2\Delta x}, \quad & \rm{(Center)} \tag{A.3} \\ \frac{dy}{dx} & = \frac{y_{j-2}-8y_{j-1}+8y_{j+1}-y_{j+2}}{12\Delta x}, \quad & \rm{(5-Point)} \tag{A.4} \\ \frac{d^2y}{dx^2} & = \frac{y_{j-1}-2y_j+y_{j+2}}{\Delta x^2}, \quad & \rm{(Center)} \tag{A.5} \\ \frac{d^2y}{dx^2} & = \frac{-y_{j-2}+16y_{j-1}-30y_j+16y_{j+1}-y_{j+2}}{12\Delta x^2}, \quad & \rm{(5-Point)} \tag{A.6} \end{align*} \] なお解析的微分は次のとおり。 \[ \begin{align*} y' & =\frac{\pi}{2} \cos \Bigl( \frac{\pi}{2}x \Bigr) \tag{A.7} \\ y'' & =-\Bigl( \frac{\pi}{2} \Bigr)^2 \sin \Bigl( \frac{\pi}{2}x \Bigr) \tag{A.8} \end{align*} \]