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数値解析：連立微分方程式

現在工事中です。工学特に化学工学の分野で現れる連立の常微分方程式および偏微分方程式の解法について以下解説する。 基礎的な数学の知識や数値解析の知識が必要な方は、「微分方程式」のページを参照されたい。

連立微分方程式

工学の分野、特に化学工学の分野で現れる微分方程式には、拡散方程式と呼ばれる２階の微分方程式がある。これら高階の微分方程式は変数変換により連立の一階の微分方程式に変換することができる。 \[ \begin{align*} \frac {d^ny}{dt^n} & = f \Bigr( t, y, y', y'', \cdots, \frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}} \Bigr) \tag{1} \end{align*} \]

このとき、変数変換 \[ \left. \eqalign{ \begin{align*} y_1 & =y, \\ y_2 & =\frac {dy_1}{dt}= \frac{d^2y}{dt^2}, \\ & \cdots \\ y_n & =\frac {dy_{n-1}}{dt}= \frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}} \\ \end{align*} } \right\} \tag{2} \]

また反応器の典型的な混合モデルの、非定常の完全混合槽モデルの物質収支式(3)や定常のプラグフローモデルの物質収支式(4)は、その成分濃度についてみれば、連立の微分方程式を構成している。 反応器の混合モデルの詳細については、「技術計算：反応工学」および「技術計算：混合・拡散」のページを参照されたい。 \[ \begin{align*} & V \frac{dC_A}{dt} = FC_{A0} - FC_A + Vr_A \tag{3} \cr & u \frac{d C_A}{d z} = - r_A \tag{4} \cr \end{align*} \]

プラグフローモデルも、N分割の槽列モデルに等値し近似することから、非定常のプラグフローモデルは、N元の連立常微分方程式(5)式となる。定常状態のプラグフローモデルは、差分化して N元の連立方程式（微分方程式ではない）となる。 \[ \begin{align*} & \frac{\partial C_A}{\partial t} + u \frac{\partial C_A}{\partial z} = - r_A \tag{5} \cr \end{align*} \]

流体解析（CFD）は、次項で述べるように連立偏微分方程式を解き、速度、圧力、温度、濃度などを三次元的に求めることをしている。これらの基礎式を簡略化したり前提条件を設けることにより、たとえば定常状態の流れ方向（ｚ方向）の変化だけを解析するということであれば、連立の常微分方程式を解くことになる。 反応器シミュレータは、速度を一様分布とみなし、化学反応を考慮し、運動量収支式を解かず、熱収支と物質収支を解くことをしている。

このように工学分野に現れる微分方程式は、ほとんどが連立の微分方程式となっている。

連立偏微分方程式

非定常の一次元解析（時間を独立変数とみなすと２つの独立変数をもつ）、定常の二次元解析（たとえば円筒座標系の軸方向と半径方向の二次元）など、少なくとも２つの独立変数がある場合には偏微分方程式を構成する。

工学、特に化学工学分野では、流体解析（Computer Fluid Dynamics）は速度場、圧力場、温度場、濃度場の変数の三次元分布を解いている。CFDは、連立の偏微分方程式を解いている。

同様に速度を一様流とみなし、圧力、温度、濃度場を解く「反応器シミュレーター」も独立変数が 2つ以上であれば連立偏微分方程式となる。

演習問題の解答

上の例題の解答、および関連ファイルのダウンロードは、こちら（未リンク）で取り扱っています。

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Literature Cited

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